无粘流动中可能产生湍流吗？

湍流现象是自然界和工程中常见到的流动现象。众所周知，湍流是经典物理学中没有得到解决的最后一个难题，已经被困扰了一个多世纪了。现在，大家知道，湍流可以出现在粘性流动中。可是，无粘流动中，是否能够产生湍流，至今还没有定论。
) C' W& X$ z8 I' C' k如果要回答这个问题，首先我们要先搞清楚2个问题：什么是湍流，湍流是怎么产生的。

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8 ]7 M2 f/ U3 Q( U/ |& ?$ C  I$ G（1）什么是湍流？
+ w/ [3 I. R; ~湍流虽然没有统一的定义，但是，众所周知，湍流有下列特征：流动速度和压力等参数变量存在非定常的脉动现象，大尺度的有组织的旋涡和小尺度的不规则的旋涡共存，湍流产生流动脉动并由此产生湍流应力并引起附加的能量损失和能量耗散，湍流可以加强流动扩散和介质混合，湍流存在多尺度的旋涡并遵守Richardson-Kolmogorov能量级串传递规律，湍流中存在间歇现象及可能的不可重复性等等。
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# C! n' T8 Q( M. a1 b- u: T7 b$ z（2）湍流是怎么产生的？
自从雷诺在1883年做的圆管流动实验，发现了在一定雷诺数下，层流向湍流转捩这一现象以来，湍流研究已经进行了近140年，但是湍流产生的机理至今还不清楚。现有的两类研究结果指出，湍流产生可能是由于流场中奇点的出现所引起。第一种奇点是流场中出现速度（或者动能，或者涡量）趋向于无穷大的点（Blowing up）(一种猜想，Leray 1934)。第二种奇点是流场中出现速度理论上为零的点，也就是速度间断（由NS方程推导出，Dou 2021） [1-2]。
法国数学家勒雷（Leray）在Navier-Stokes方程的弱解方面做了开创性的工作，证明了弱解的存在性。Leray并猜测湍流是由于点涡或‘线涡’的形成，在这些点涡或‘线涡’上，速度的某些分量变得无穷大，导致奇点发生(Blowing up)。但是，到现在为止，Leray关于三维湍流中奇点发生的猜测也一直没有得到理论上的证明或者反证明，包括数值模拟和实验研究。
美国Clay数学研究所2000年公布的七个千禧年大奖难题中，Navier-Stokes方程的存在性与光滑性为其中之一。命题要求证明或反证明：在三维的空间及时间下，给定一初始的速度场，存在一矢量的速度场及标量的压力场，满足纳维－斯托克斯方程的解，其中速度及压力的解是处处连续及光滑的，并且动能是有界的[3]。至今，这一难题没有得到证明。
8 t: D& J3 b2 X: P( p3 ~7 VDou (2004)创立了能量梯度理论，用以研究流动稳定性和湍流转捩[4]；Dou (2021)用此理论证明了，当速度剖面上出现拐点（或者kink）时，流场在扰动下的时间演化过程中，流向速度会出现间断（负尖峰），导致奇点的出现，并引起了湍流发生，这与数值模拟和实验数据取得了一致[1]。据此，证明了对转捩流动和湍流流动，Navier-Stokes方程不存在全局定义的光滑解。Dou(2022)进一步用泊松方程分析方法[2]，证明了同样的结果，当流场中出现泊松方程源项为零的点时，奇点发生，此处理论上的速度为零。并由此得到了定理：湍流产生的必要及充分条件是流场中存在Navier-Stokes方程的奇点（速度间断）。这一准则适用于任何类型的湍流。而当只有流体具有粘性时，这样的奇点才可能产生 [4]。这些结论与实验结果和直接数值模拟(DNS)结果取得了一致。
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（3）无粘流动能够产生湍流吗？
( F7 S7 v! G; g8 M' f如果流体是无粘的，流动支配方程变为Euler方程，由于流体没有粘性，流场中速度为零的奇点就不可能产生，因此就不可能产生湍流，这与湍流中必须产生额外能量损失和能量耗散的现象是一致的。实质上，如果奇点不能产生，不能产生spike,就失去了产生湍流脉动的动力来源。如果没有粘性，就没有耗散，流场中的旋涡流动的Richardson-Kolmogorov 能量级串现象就不可能存在。这也就解释了为什么粘性流动当雷诺数趋于无穷大时，永远不会等同于无粘流动的物理原因。
7 n1 m" |1 W+ Z3 l 综上，我们得到结论：无粘流动中不可能产生湍流[4]。作者首次论证了这个结论[2,4]。

（4）无粘流动的稳定性问题
; H9 u, j; g7 P关于无粘流动的稳定性问题，Rayleigh (1880)证明了无粘流动线性失稳的必要条件是速度剖面上出现拐点，Fjфrtoft (1950)给出了进一步的必要条件是拐点处 U″△U<0,而线性失稳的充分条件至今还没有理论上的证明。多年来，尽管 C. C. Lin, L. Howard，J. W. Miles, 等人后来做了很多的工作，总觉得无粘流动线性稳定性理论总是有物理基础上不合理的地方。从物理学上来讲，一个合理而正确的准则应该是，它既是必要条件，也是充分条件。无粘流动线性稳定性理论的主要问题可能是，只根据速度剖面形状来分析，没有结合其边界条件的内涵，这样的处理是非物理的。原理上，流动的稳定性同时由支配方程和边界条件所组成的系统所控制。Rayleigh (1880) 和Fjфrtoft (1950)考虑了边界上的变量值，但没有考虑边界上的导数值，而后者决定了流体内部能量的传递问题。
4 m* R5 S" N+ s/ r4 C" nDou (2007)根据能量梯度理论证明，无粘有旋流动总是非线性不稳定的 [5, 4]。无粘有旋流动非线性失稳后，流动会从一种状态演变为另一种状态，但这种流动状态的演变与粘性流动的湍流转捩是完全不同的。前面说过，因为无粘流动没有粘性就没有能量耗散，就不存在Richardson-Kolmogorov 能量级串现象。没有粘性，也就没有扩散现象。至于无粘流动失稳后是一种什么样的流动状态，可以肯定不是上面第（1）部分所描述的湍流状态。从现有的文献看来，无粘流动失稳后的流动状态，仍然没有得到足够研究。这里一个主要原因是，自然界的流体都不是无粘性的。
4 L7 G  A3 x% V 根据涡量的动力学方程（实际上就是Navier-Stokes方程，涡量的动力学方程是由Navier-Stokes方程导出的），无粘流动可以是旋涡流动，无粘的旋涡可以对流和拉伸，但是总的涡量不变（亥姆霍兹定理）。按照此定理，（a)如果无粘流动的来流是无旋状态，那么后面的流动永远是无旋的，不可能出现湍流，因为湍流总是有旋的。(b)同时，Dou (2007)根据能量梯度理论，已经证明了无粘无旋流动（potential flow）是永远非线性稳定的，不可能出现湍流。(c)如果无粘流动的来流是有旋状态，那么后面流动如果失稳，失稳后的流动，总的涡量不会改变；至于如果失稳后是一种什么状态，如上面指出，还没有得到足够研究，不能下结论。

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参考文献
1. Dou, H.-S., Singularity of Navier-Stokes equations leading to turbulence, Adv. Appl. Math. Mech., 13(3), 2021, 527-553.  https://doi.org/10.4208/aamm.OA-2020-0063 ;  https://arxiv.org/abs/1805.12053v10
2. Dou, H.-S., No existence and smoothness of solution of the Navier-Stokes equation, Entropy, 2022, 24, 339.
https://doi.org/10.3390/e24030339
3. Fefferman, C., Existence and smoothness of the Navier-Stokes equation, in The Millennium Prize Problems (eds Carlson, J., Jaffe, A. & Wiles, A.) 57–67 (Clay Mathematics Institute, 2006).
' a( `6 i% R! P& `! @" o4. Dou, H.-S., Origin of Turbulence-Energy Gradient Theory, 2022, Springer.
3 H0 }8 s3 }9 S8 Lwww.52ocean.cn （全书下载地址）.
5. Dou, H.-S., Three important theorems for flow stability. In: Zhuang F, Li J (eds) Proceedings of the fifth international conference on fluid mechanics. Tsinghua University Press & Springer, 2007, pp 57–60.  
https://doi.org/10.1007/978-3-540-75995-9_10


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