MATLAB应用——数据分析与统计

$ y9 W# R; J: U8 H

数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，它已经渗透到各个领域，而且发挥出越来越重要的作用。面对自然科学和工程应用中的难题，大部分人无从入手，而个别人却能短时间内给出切实可行的解决方案，其差别往往在于驾驭数学知识的能力不同。现代计算机技术的应用不仅减少了计算错误，而且加强了数学应用者解决问题的能力。MATLAB是一款常用的数据处理软件，为了更好的应用MATLAB软件，我将整理好的MATLAB函数分享到今日头条上，以利己利人查阅。

MATLAB提供的很多数据分析与统计函数都是面向列的，即矩阵中的每一列代表一个变量的多个观测值，其列数对应于变量数，行数对应于测量点数。

max和min函数可求出数据的最大值和最小值，mean和std函数可求出数据的均值和标准差，sum和prod函数可求出数据元素和与数据元素积。例如，对MATLAB内含的某城市24小时的车流量数据count.dat可作分析：

8 G! x" h1 ?. Y+ F. h

load count.dat

mx=max(count)

mx = 114 145 257

mu=mean(count)

7 B! m5 s& s& c, d5 j. m ~

mu = 32.0000 46.5417 65.5833

+ g+ S" N) T1 l; l% P

sigma=std(count)

) M* A# K) H9 L; M' m0 S

sigma = 25.3703 41.4057 68.0281

对有些函数还可给出位置，例如，在求出最小值的同时，可得到最小值所在的位置(行号)：

[mx,indx]=min(count)

' U/ N; X2 U3 A. k2 j i# x

mx = 7 9 7

8 X, r6 ~/ p, h4 c

indx = 2 23 24

1、协方差和相关系数

% d8 T. k/ `' ^4 z ~

cov函数可以求出单个变量的协方差，而corrcoef函数可求出两个变量之间的相关系数，例如：

3 Z; h3 n2 e! ?5 q- w/ V; R- ?

cv=cov(count)

cv = 1.0e+003 *

0.6437 0.9802 1.6567

0.9802 1.7144 2.6908

1.6567 2.6908 4.6278

cr=corrcoef(count)

5 x, Q% }% A- j# Y9 L" K

cr =

7 X9 L+ A, z9 W/ H9 a* ?! j) s

1.0000 0.9331 0.9599

; \: F. G2 g4 O8 B9 B( t, ?

0.9331 1.0000 0.9553

6 [* n* U* f, z [

0.9599 0.9553 1.0000

2、数据预处理

在MATLAB中遇到超出范围的数据时均用NaN (非数值) 表示，而且在任何运算中，只要包含NaN，就将它传递到结果中，因此在对数据进行分析前，应对数据中出现的NaN作剔除处理。例如：

6 H" ?9 q% \- J2 Y% F0 \! h

a=[1 2 3;5 NaN 8;7 4 2];

/ H: W8 {; e8 z- @

sum(a)

+ j6 Q; p& J' d4 Y

ans = 13 NaN 13

在矢量x中删除NaN元素，可有下列四种方法：

(1)  i=find(~isnan(x))；x=x(i)。

(2)  x=x(find(~isnan(x)))。

(3)  x=x(~isnan(x))。

& c" V3 t: {% t( J9 j1 T

(4)  x(isnan(x))=[ ]。

在矩阵X中删除NaN所在的行，可输入

X(any(isnan(X))，：)=[ ]；

经过这种预处理后的数据，可进行各种分析和统计操作。

) R8 e! \& A0 K

3、回归和曲线拟合

对给定的数据进行拟合，可采用多项式回归，也可采用其它信号形式的回归，其基本原理是最小二乘法，这一功能实现在MATLAB中显得轻而易举。

2 `# [2 R. h; Q) [2 @& N

例1：设通过测量得到一组时间t与变量y的数据：

& f2 H1 {& w1 i3 y/ Y* C5 U& J

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40];

+ d% K c, O1 C0 @$ O

进行回归，可得到两种不同的结果。MATLAB程序如下：

$ T M; Z# a+ w u+ E8 n4 R& r8 X

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

' {3 B& U, o3 N! c

y=[.5 .82 1.14 1.25 1.35 1.40];

X1=[ones(size(t)) t t.^2];

a=X1\y;

: t: ]: {5 Y. \3 X

X2=[ones(size(t)) exp(–t) t.*exp(–t)];

b=X2\y;

T=[0:.1:2.5];

Y1=[ones(size(T)) T T.^2]*a;

Y2=[ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*b;

1 U- b/ j7 x( o( I! _! C! h% L- Q

figure(1)

subplot(1,2,1)

plot(T,Y1,-,t,y,o),grid on

title(多项式回归)

& ]; U7 W R$ l4 a2 M0 U

subplot(1,2,2)

5 i( {! S# x, x4 B0 L+ i

plot(T,Y2,-,t,y,o),grid on

title(指数函数回归)

+ c% C* { m6 E& ]6 L

* ?: S) J' ~8 S. D! q

例2 已知变量y与x1，x2有关，测得一组数据为

! A& u( i5 B' G

　　x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 ];

　　x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 ];

5 c1 l3 p6 w7 a; M

　　y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

9 \+ \8 d! ?2 q4 W( b

采用来拟合，则有

. d0 @, b" N: |6 P! ]

x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1];

?1 j3 {9 z! M: X4 ~+ ~

x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4];

y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

X=[ones(size(x1)) x1 x2];

a=X\y

+ G" U0 L( s- _ h' t5 T3 z0 S

a = 0.1018 0.4844 −0.2847

因此数据的拟合模型为

* P: B, c/ x, G) \3 t! f

y=0.1018+0.4844x1−0.2487x2

4、傅里叶分析与FFT

' B$ k) {' B* V, F. W" F) d$ Q6 ]

利用MATLAB提供的FFT函数可方便地计算出信号的傅里叶变换，从而在频域上对信号进行分析。

例1 ：混合频率信号成分分析。有一信号x由三种不同频率的正弦信号混合而成，通过得到信号的DFT，确定出信号的频率及其强度关系，程序如下：

) D9 n+ c: a% P% r6 Q4 ]/ h

t=0:1/119:1;

x=5*sin(2*pi*20*t)+3*sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*45*t);

y=fft(x);

7 s" P# T6 y" k

m=abs(y);

f=(0:length(y) -1)*119/length(y);

" }: _9 ~# g- w

figure(1)

, l/ U/ w0 ~4 A' W4 X( {

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

9 j( W+ D5 o4 o) I, j; P

title(多频率混合信号)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

2 x' E& X! ~$ V+ a5 h, b' `

subplot(2,1,2),plot(f,m)

2 M7 `/ Z2 x- L# [! Z

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

6 C- P: i! S* R8 ^2 k: [

例2 ：信号在传输过程中，由于受信道或环境影响，在接收端得到的是噪声环境下的信号。我们利用FFT函数对这一信号进行傅里叶分析，从而确定信号的频率，程序如下：

t=0:1/199:1;

x=sin(2*pi*50*t)+1.2*randn(size(t)); ％噪声中的信号

) p; @4 n2 k& h: t% q( l

y=fft(x);

m=abs(y);

: n8 k. Q4 b; z( k' S

f=(0:length(y) -1)*199/length(y);

$ x& C, ]$ |* \' s) X

figure(1)

( N p3 }+ ^% T$ w, [4 F

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(信号检测)

% n6 G0 l: o. F

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

8 {! a4 v2 |* [3 i L

subplot(2,1,2),plot(f,m)

) m* m( A; Z5 @% d2 h2 P

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

5 B: u, A4 |) O+ z

xlabel(Frequency (Hertz))

7 L* J2 n, Y3 D$ k" [

例3 ：天文学家记录了300年来太阳黑子的活动情况，我们对这组数据进行傅里叶分析，从而得出太阳黑子的活动周期。MATLAB程序如下：

$ q2 m; m) {% u; ~. b

load sunspot.dat

4 x( X+ w' k, T0 ]4 ~6 h

year=sunspot(:,1);

* y4 d/ g9 \2 Z0 e, v! c

wolfer=sunspot(:,2);

: e( d; l& v) b6 a

figure(1)

subplot(2,1,1)

plot(year,wolfer)

title(原始数据)

Y=fft(wolfer);

N=length(Y);

Y(1)=[];

power=abs(Y(1:N/2)).^2;

nyquist=1/2;

5 k( [* o$ Y4 Z: O% ^

freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;

* c# U# u% L$ `

period=1./freq;

subplot(2,1,2)

) j& p/ I, i! y

plot(period,power)

8 C! m" v( C3 g8 N$ k

title(功率谱), grid on

axis([0 40 0 2e7])

. U9 f% K2 }, @9 Q! }3 D

& D. b" [/ k9 Q$ S8 \; Z

各位读者朋友，感谢您的阅读，您若对工程应用中的数学问题感兴趣，欢迎关注我，愿我们一起讨论和成长！！！

. b. e8 b I" t" f # f2 o8 Q6 R: R" r# z