MATLAB应用——数据分析与统计

- o& H# l& }- h/ z5 L

6 W% W) x9 [- F9 I" s& B

数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，它已经渗透到各个领域，而且发挥出越来越重要的作用。面对自然科学和工程应用中的难题，大部分人无从入手，而个别人却能短时间内给出切实可行的解决方案，其差别往往在于驾驭数学知识的能力不同。现代计算机技术的应用不仅减少了计算错误，而且加强了数学应用者解决问题的能力。MATLAB是一款常用的数据处理软件，为了更好的应用MATLAB软件，我将整理好的MATLAB函数分享到今日头条上，以利己利人查阅。

2 k: L( m3 p' F8 Q1 R8 e

MATLAB提供的很多数据分析与统计函数都是面向列的，即矩阵中的每一列代表一个变量的多个观测值，其列数对应于变量数，行数对应于测量点数。

max和min函数可求出数据的最大值和最小值，mean和std函数可求出数据的均值和标准差，sum和prod函数可求出数据元素和与数据元素积。例如，对MATLAB内含的某城市24小时的车流量数据count.dat可作分析：

load count.dat

" R; x, ?3 A# x( b0 A% W/ ^- r0 ~$ a

mx=max(count)

$ C9 B7 x: ?2 X0 S- y1 X0 P

mx = 114 145 257

* d, Q6 H$ F& a# G' j# s

mu=mean(count)

1 f2 \6 q* W) u. m' T

mu = 32.0000 46.5417 65.5833

sigma=std(count)

( p, v: P3 N2 A" t( e+ s+ s+ I( N

sigma = 25.3703 41.4057 68.0281

对有些函数还可给出位置，例如，在求出最小值的同时，可得到最小值所在的位置(行号)：

! F8 t# g$ v8 p: ]

[mx,indx]=min(count)

mx = 7 9 7

indx = 2 23 24

+ s' [' J+ x- v; `8 |. d0 m- K

1、协方差和相关系数

3 i% M; n) Z5 u" j. C

cov函数可以求出单个变量的协方差，而corrcoef函数可求出两个变量之间的相关系数，例如：

2 R$ }& g3 G8 _/ x6 k

cv=cov(count)

cv = 1.0e+003 *

0.6437 0.9802 1.6567

0.9802 1.7144 2.6908

- U M' e& r) r/ e

1.6567 2.6908 4.6278

& k! ^0 K0 _% Q$ v

cr=corrcoef(count)

cr =

1.0000 0.9331 0.9599

0.9331 1.0000 0.9553

0.9599 0.9553 1.0000

7 Y2 b& c7 a% @, L+ m1 w2 T

2、数据预处理

/ n' Q: e! |# t- }2 }

在MATLAB中遇到超出范围的数据时均用NaN (非数值) 表示，而且在任何运算中，只要包含NaN，就将它传递到结果中，因此在对数据进行分析前，应对数据中出现的NaN作剔除处理。例如：

2 f- l) D7 \1 R

a=[1 2 3;5 NaN 8;7 4 2];

0 @. @- Z4 S0 @, _% {1 B0 L% h

sum(a)

ans = 13 NaN 13

在矢量x中删除NaN元素，可有下列四种方法：

(1)  i=find(~isnan(x))；x=x(i)。

(2)  x=x(find(~isnan(x)))。

8 E/ I; S; Y) p2 F

(3)  x=x(~isnan(x))。

/ U% T1 V# e. D' y

(4)  x(isnan(x))=[ ]。

' a; _+ l5 ~" K6 U% U1 p

在矩阵X中删除NaN所在的行，可输入

' W2 h( N6 V, P% B! w; K

X(any(isnan(X))，：)=[ ]；

' M% |* Z% s3 x9 G% B/ _# s

经过这种预处理后的数据，可进行各种分析和统计操作。

9 P% ]' @. ^- L- X

3、回归和曲线拟合

# _5 ]0 A7 x$ y" q3 N% z

对给定的数据进行拟合，可采用多项式回归，也可采用其它信号形式的回归，其基本原理是最小二乘法，这一功能实现在MATLAB中显得轻而易举。

例1：设通过测量得到一组时间t与变量y的数据：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40];

" L" o1 Y2 I2 \9 M. t

进行回归，可得到两种不同的结果。MATLAB程序如下：

8 k4 D# p9 S: n1 h9 i

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

b6 J& ]3 e1 t+ e6 o* B

y=[.5 .82 1.14 1.25 1.35 1.40];

1 g: M! K2 [4 V8 U5 p

X1=[ones(size(t)) t t.^2];

a=X1\y;

* Z) c" p# Y$ }! q+ E& i

X2=[ones(size(t)) exp(–t) t.*exp(–t)];

( B4 O) y2 ^" }7 z& z+ d' B/ p

b=X2\y;

7 G; }' s3 t% E1 x( q m

T=[0:.1:2.5];

Y1=[ones(size(T)) T T.^2]*a;

Y2=[ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*b;

figure(1)

$ {! i6 Y y1 [$ l2 W

subplot(1,2,1)

# X: r7 _2 | p

plot(T,Y1,-,t,y,o),grid on

! Q8 N1 c+ F0 n7 z b% Z

title(多项式回归)

subplot(1,2,2)

9 H: Q5 H/ L) B' C' }2 S

plot(T,Y2,-,t,y,o),grid on

) W/ u8 r7 ~+ N

title(指数函数回归)

例2 已知变量y与x1，x2有关，测得一组数据为

4 u, D3 t6 q2 y( d: B# F1 F

　　x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 ];

　　x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 ];

　　y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

采用来拟合，则有

3 t" \4 ~) r9 o

x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1];

9 W& v: n& v: g* |3 [) ^

x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4];

y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

X=[ones(size(x1)) x1 x2];

a=X\y

a = 0.1018 0.4844 −0.2847

因此数据的拟合模型为

y=0.1018+0.4844x1−0.2487x2

4、傅里叶分析与FFT

& `" v. @( ?* i% U5 s

利用MATLAB提供的FFT函数可方便地计算出信号的傅里叶变换，从而在频域上对信号进行分析。

例1 ：混合频率信号成分分析。有一信号x由三种不同频率的正弦信号混合而成，通过得到信号的DFT，确定出信号的频率及其强度关系，程序如下：

! t4 ~2 X1 |' ?8 T* E

t=0:1/119:1;

& Y/ a) @7 L! z0 Z1 [; d$ u' d4 }2 y

x=5*sin(2*pi*20*t)+3*sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*45*t);

y=fft(x);

* [( z! V& D; K3 y. q$ p) T

m=abs(y);

0 P9 [: C" A3 `+ [& K

f=(0:length(y) -1)*119/length(y);

J" Q8 Z; L8 ]/ h/ C

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

* ]9 s1 d3 I3 G' s

title(多频率混合信号)

9 U3 S1 N* V1 F3 A4 r

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

subplot(2,1,2),plot(f,m)

* V c4 o4 T& ?& {! e) o+ Y9 j

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

+ H8 n" \5 a M% R6 l7 {* o

xlabel(Frequency (Hertz))

4 H2 y, t% h! ?, H( }6 E3 u

例2 ：信号在传输过程中，由于受信道或环境影响，在接收端得到的是噪声环境下的信号。我们利用FFT函数对这一信号进行傅里叶分析，从而确定信号的频率，程序如下：

t=0:1/199:1;

, p9 O( S/ a) A# U% F

x=sin(2*pi*50*t)+1.2*randn(size(t)); ％噪声中的信号

y=fft(x);

m=abs(y);

f=(0:length(y) -1)*199/length(y);

! k% n8 b( q" p8 _* n; i% o

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

. D' N( n) |8 ]% q

title(信号检测)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

subplot(2,1,2),plot(f,m)

7 K8 k) q& }5 E- i7 b/ B

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

8 u( C9 ^" ^4 u d& @5 w

* J. A, O0 c) _* z' w9 V3 ^

例3 ：天文学家记录了300年来太阳黑子的活动情况，我们对这组数据进行傅里叶分析，从而得出太阳黑子的活动周期。MATLAB程序如下：

load sunspot.dat

year=sunspot(:,1);

wolfer=sunspot(:,2);

0 [& ]; o1 L/ W [3 X9 a; u5 }

figure(1)

" V3 U0 r. R, K- t( B

subplot(2,1,1)

( ~2 R5 O0 A, h

plot(year,wolfer)

title(原始数据)

Y=fft(wolfer);

6 C0 z7 Y# c0 a( }6 S, Y) I

N=length(Y);

Y(1)=[];

, z; z$ N' e- Z# s$ l8 _

power=abs(Y(1:N/2)).^2;

nyquist=1/2;

freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;

period=1./freq;

! }* B6 F9 \3 _

subplot(2,1,2)

plot(period,power)

* ~# w6 q V2 S: Y R; r

title(功率谱), grid on

axis([0 40 0 2e7])

0 j! t7 M" E0 z }% H ?% ?

3 f2 P! \$ i. c, b

各位读者朋友，感谢您的阅读，您若对工程应用中的数学问题感兴趣，欢迎关注我，愿我们一起讨论和成长！！！

]. l# B/ h* Y+ k! U/ X 7 l8 n: B& n/ G; D( {$ l% }