MATLAB应用——数据分析与统计

数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，它已经渗透到各个领域，而且发挥出越来越重要的作用。面对自然科学和工程应用中的难题，大部分人无从入手，而个别人却能短时间内给出切实可行的解决方案，其差别往往在于驾驭数学知识的能力不同。现代计算机技术的应用不仅减少了计算错误，而且加强了数学应用者解决问题的能力。MATLAB是一款常用的数据处理软件，为了更好的应用MATLAB软件，我将整理好的MATLAB函数分享到今日头条上，以利己利人查阅。

MATLAB提供的很多数据分析与统计函数都是面向列的，即矩阵中的每一列代表一个变量的多个观测值，其列数对应于变量数，行数对应于测量点数。

' d$ x8 x7 G. h2 _8 H: P

max和min函数可求出数据的最大值和最小值，mean和std函数可求出数据的均值和标准差，sum和prod函数可求出数据元素和与数据元素积。例如，对MATLAB内含的某城市24小时的车流量数据count.dat可作分析：

, |, S" N- \6 P7 `3 y. a

load count.dat

3 b3 J# I h3 g

mx=max(count)

mx = 114 145 257

- t, c9 O ~* \" M6 k

mu=mean(count)

mu = 32.0000 46.5417 65.5833

sigma=std(count)

' b3 x3 t% O! N+ \

sigma = 25.3703 41.4057 68.0281

$ ~$ Q# A7 p9 T( L, i, _

对有些函数还可给出位置，例如，在求出最小值的同时，可得到最小值所在的位置(行号)：

% _* M7 i/ L" }3 _/ b/ R: p; ]$ E

[mx,indx]=min(count)

mx = 7 9 7

2 J3 z. B! Q9 m' r, E* H/ ^

indx = 2 23 24

1、协方差和相关系数

cov函数可以求出单个变量的协方差，而corrcoef函数可求出两个变量之间的相关系数，例如：

cv=cov(count)

cv = 1.0e+003 *

0.6437 0.9802 1.6567

* X$ \) W0 X: F( |7 e$ C6 w

0.9802 1.7144 2.6908

1.6567 2.6908 4.6278

cr=corrcoef(count)

cr =

1.0000 0.9331 0.9599

2 b2 W; i9 j' J( O* i+ e3 X

0.9331 1.0000 0.9553

0.9599 0.9553 1.0000

2、数据预处理

3 z3 x4 f9 C5 I) I% F

在MATLAB中遇到超出范围的数据时均用NaN (非数值) 表示，而且在任何运算中，只要包含NaN，就将它传递到结果中，因此在对数据进行分析前，应对数据中出现的NaN作剔除处理。例如：

5 T( f4 f0 n7 y5 e2 J9 {3 `

a=[1 2 3;5 NaN 8;7 4 2];

sum(a)

ans = 13 NaN 13

在矢量x中删除NaN元素，可有下列四种方法：

' M0 G0 X0 r. N& \7 }

(1)  i=find(~isnan(x))；x=x(i)。

(2)  x=x(find(~isnan(x)))。

(3)  x=x(~isnan(x))。

(4)  x(isnan(x))=[ ]。

+ {3 T$ n- \1 J% `+ Z- n$ Z. h

在矩阵X中删除NaN所在的行，可输入

7 N$ v, Q \5 L' x& }' [

X(any(isnan(X))，：)=[ ]；

: a% C: G0 q: d' o9 S% n6 |! V

经过这种预处理后的数据，可进行各种分析和统计操作。

0 m& g0 \, ]9 f5 V5 V& Z0 C/ V0 o

3、回归和曲线拟合

0 w& R. p) l, j8 g, R8 S# e9 U I

对给定的数据进行拟合，可采用多项式回归，也可采用其它信号形式的回归，其基本原理是最小二乘法，这一功能实现在MATLAB中显得轻而易举。

例1：设通过测量得到一组时间t与变量y的数据：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

2 _0 B+ ]/ g4 [% e3 K1 l

y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40];

/ A# s- H' O0 d* ?& ^5 Q7 ^

进行回归，可得到两种不同的结果。MATLAB程序如下：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

' I P4 Q3 n$ Q) ^; B& g. r

y=[.5 .82 1.14 1.25 1.35 1.40];

X1=[ones(size(t)) t t.^2];

0 I6 c, X+ c% V0 H: X

a=X1\y;

X2=[ones(size(t)) exp(–t) t.*exp(–t)];

( J$ g1 |+ x% G

b=X2\y;

9 }- z0 i2 X! M w' T1 Y

T=[0:.1:2.5];

. ?! Q! J' S, `3 l/ U

Y1=[ones(size(T)) T T.^2]*a;

& k& d5 g& _$ K! q; F) g

Y2=[ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*b;

3 T o2 q5 `% H9 Y" t9 `

figure(1)

subplot(1,2,1)

plot(T,Y1,-,t,y,o),grid on

5 L a3 z; P y# p7 w

title(多项式回归)

& L% N4 _5 k. r

subplot(1,2,2)

plot(T,Y2,-,t,y,o),grid on

title(指数函数回归)

- ~) g2 g; N# _8 }( }2 ?8 S- u

% z* Y0 H% e4 X9 G: ?3 v

例2 已知变量y与x1，x2有关，测得一组数据为

: {! W; P: V/ c8 O) d3 P* {6 Q

　　x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 ];

　　x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 ];

　　y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

9 M6 O$ }, Q, ]8 ^7 A0 C$ K2 X% `

采用来拟合，则有

3 g1 l( P4 Y8 A# d) V

x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1];

J% F2 r5 q7 x

x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4];

! H9 h, v" O: M6 R" Z! C

y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

$ `' F+ t6 u+ W. ^% b2 w. k/ P

X=[ones(size(x1)) x1 x2];

a=X\y

a = 0.1018 0.4844 −0.2847

因此数据的拟合模型为

c- {- Z' v) I# U

y=0.1018+0.4844x1−0.2487x2

# |2 W9 M3 D/ O4 Q

4、傅里叶分析与FFT

利用MATLAB提供的FFT函数可方便地计算出信号的傅里叶变换，从而在频域上对信号进行分析。

例1 ：混合频率信号成分分析。有一信号x由三种不同频率的正弦信号混合而成，通过得到信号的DFT，确定出信号的频率及其强度关系，程序如下：

6 n3 k# ^- U3 \$ g6 X( x

t=0:1/119:1;

x=5*sin(2*pi*20*t)+3*sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*45*t);

# b1 A9 v3 o. k: w4 q; c4 Q

y=fft(x);

m=abs(y);

& }3 j2 I3 G6 c1 H: H

f=(0:length(y) -1)*119/length(y);

figure(1)

- d. D1 D, m' p" ?

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

- ^7 C0 Q# [- a3 ^1 A4 l

title(多频率混合信号)

$ }& U$ M5 s$ {( F* `

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

% q2 N6 t+ V3 m$ _( r0 L9 t

subplot(2,1,2),plot(f,m)

' o c/ y& a8 ~

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

例2 ：信号在传输过程中，由于受信道或环境影响，在接收端得到的是噪声环境下的信号。我们利用FFT函数对这一信号进行傅里叶分析，从而确定信号的频率，程序如下：

t=0:1/199:1;

x=sin(2*pi*50*t)+1.2*randn(size(t)); ％噪声中的信号

y=fft(x);

! F6 U, ?, J8 p: Q

m=abs(y);

f=(0:length(y) -1)*199/length(y);

1 X" P' W' ]1 z, g$ o2 \8 S

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(信号检测)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

subplot(2,1,2),plot(f,m)

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

! X1 P( E8 j! H% o9 [

例3 ：天文学家记录了300年来太阳黑子的活动情况，我们对这组数据进行傅里叶分析，从而得出太阳黑子的活动周期。MATLAB程序如下：

: u j1 \! E5 x% _, i5 x* e

load sunspot.dat

) P$ z. _0 m; L4 e: n2 v: l; u0 B

year=sunspot(:,1);

1 T1 l" C% }/ M& L& y: H5 h8 {5 X) X

wolfer=sunspot(:,2);

figure(1)

1 L! S. G5 r. {% t# n; W! h8 i( m4 g

subplot(2,1,1)

/ i/ A* N! A1 n+ M- _/ ~& t+ a

plot(year,wolfer)

5 M; i# I7 n& Z$ Z; N& h' x/ Z

title(原始数据)

% ~" {) q' d1 s" M

Y=fft(wolfer);

N=length(Y);

" w& P, Y7 G5 z$ w7 H) T9 ~8 f% p% i

Y(1)=[];

power=abs(Y(1:N/2)).^2;

X& |4 N- p5 v; W) W

nyquist=1/2;

6 |$ B+ I: \+ t' I+ P; W

freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;

period=1./freq;

subplot(2,1,2)

plot(period,power)

* Q$ h' k6 S( ^

title(功率谱), grid on

& m- L/ v( D, Y% W$ }" i1 g

axis([0 40 0 2e7])

8 {3 {! X( a5 g. Y% E! G" J

各位读者朋友，感谢您的阅读，您若对工程应用中的数学问题感兴趣，欢迎关注我，愿我们一起讨论和成长！！！

( i7 j$ k. a) f" i* Y( _ + l* f8 o3 F( r