MATLAB应用——数据分析与统计

3 c! n! r' D# H. q

; _7 k7 ]. c& R+ Q, v2 V* U2 P) s

数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，它已经渗透到各个领域，而且发挥出越来越重要的作用。面对自然科学和工程应用中的难题，大部分人无从入手，而个别人却能短时间内给出切实可行的解决方案，其差别往往在于驾驭数学知识的能力不同。现代计算机技术的应用不仅减少了计算错误，而且加强了数学应用者解决问题的能力。MATLAB是一款常用的数据处理软件，为了更好的应用MATLAB软件，我将整理好的MATLAB函数分享到今日头条上，以利己利人查阅。

6 T$ i9 p4 Y& s* {1 V* j1 X

MATLAB提供的很多数据分析与统计函数都是面向列的，即矩阵中的每一列代表一个变量的多个观测值，其列数对应于变量数，行数对应于测量点数。

[. m6 h% K/ K. W' U' U

max和min函数可求出数据的最大值和最小值，mean和std函数可求出数据的均值和标准差，sum和prod函数可求出数据元素和与数据元素积。例如，对MATLAB内含的某城市24小时的车流量数据count.dat可作分析：

5 s7 |1 ~% n+ _; A( `6 R4 @

load count.dat

! x" c; S4 r5 F! c1 k3 L0 i

mx=max(count)

3 u0 r k3 d) G

mx = 114 145 257

! ?3 c: x# A4 ]

mu=mean(count)

* O5 Z% }0 Z' M/ T4 K t5 Q# R0 K" J) h

mu = 32.0000 46.5417 65.5833

# G g7 `3 W0 C& G3 M) c4 O; I

sigma=std(count)

sigma = 25.3703 41.4057 68.0281

! [4 @0 l3 X& P5 V8 u) f7 s* ~0 A

对有些函数还可给出位置，例如，在求出最小值的同时，可得到最小值所在的位置(行号)：

2 ?+ ]1 Z; M! a w) |6 l

[mx,indx]=min(count)

{5 k: P7 ~+ u) u

mx = 7 9 7

indx = 2 23 24

1、协方差和相关系数

cov函数可以求出单个变量的协方差，而corrcoef函数可求出两个变量之间的相关系数，例如：

1 {; l; f" G1 Z4 O, M: n' w/ s

cv=cov(count)

cv = 1.0e+003 *

0.6437 0.9802 1.6567

0.9802 1.7144 2.6908

0 O! i6 Y- C6 ^' V! t

1.6567 2.6908 4.6278

# z2 h1 y- ~) L% `( p

cr=corrcoef(count)

cr =

% \) @, e1 {( ^6 b

1.0000 0.9331 0.9599

z1 e5 Q1 l' k* h% ? ?) }

0.9331 1.0000 0.9553

0.9599 0.9553 1.0000

2、数据预处理

" L( Y s9 V9 E* q2 _

在MATLAB中遇到超出范围的数据时均用NaN (非数值) 表示，而且在任何运算中，只要包含NaN，就将它传递到结果中，因此在对数据进行分析前，应对数据中出现的NaN作剔除处理。例如：

& Q) @* |% |* x2 Z2 D. j* s$ b

a=[1 2 3;5 NaN 8;7 4 2];

8 Y! p* g/ |2 m9 d

sum(a)

ans = 13 NaN 13

在矢量x中删除NaN元素，可有下列四种方法：

; z. o4 d" A+ p E1 |8 j* n4 x1 _

(1)  i=find(~isnan(x))；x=x(i)。

(2)  x=x(find(~isnan(x)))。

(3)  x=x(~isnan(x))。

, x% B* S6 x! [$ v5 ?1 M" {

(4)  x(isnan(x))=[ ]。

: D! i3 c; h4 o/ q5 H7 A8 L

在矩阵X中删除NaN所在的行，可输入

7 T$ L& v* V( c7 r2 {+ D2 t' v5 U

X(any(isnan(X))，：)=[ ]；

1 w& V4 o/ U! w, f! D

经过这种预处理后的数据，可进行各种分析和统计操作。

3、回归和曲线拟合

对给定的数据进行拟合，可采用多项式回归，也可采用其它信号形式的回归，其基本原理是最小二乘法，这一功能实现在MATLAB中显得轻而易举。

/ K( ?5 R2 e* [7 }6 B, \

例1：设通过测量得到一组时间t与变量y的数据：

: \1 M& U: o/ I& J

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40];

% J9 H1 i0 Y: J V' g9 Z

进行回归，可得到两种不同的结果。MATLAB程序如下：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

y=[.5 .82 1.14 1.25 1.35 1.40];

X1=[ones(size(t)) t t.^2];

% s2 Z9 o! P0 O$ V6 t

a=X1\y;

X2=[ones(size(t)) exp(–t) t.*exp(–t)];

b=X2\y;

T=[0:.1:2.5];

- |2 Z+ H0 ~1 ~2 @& H8 B6 v" C

Y1=[ones(size(T)) T T.^2]*a;

Y2=[ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*b;

* `) ^; a: ^. B e" ~2 [

figure(1)

@( `4 K* i3 f, B' X) i: O

subplot(1,2,1)

# v. D9 W4 W$ N# W

plot(T,Y1,-,t,y,o),grid on

3 Z% O- x% F+ L2 k% T# @' P& v

title(多项式回归)

subplot(1,2,2)

2 @4 Y! L# j3 b8 ?5 N

plot(T,Y2,-,t,y,o),grid on

title(指数函数回归)

例2 已知变量y与x1，x2有关，测得一组数据为

　　x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 ];

　　x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 ];

* k- W1 I% b9 g$ D) @9 O

　　y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

8 D: q/ }* X1 R! M$ k: @

采用来拟合，则有

& C. u; ?9 ^2 n! Q2 ^& ]

x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1];

5 b3 l+ Y6 K% P/ m+ C1 K) T' \

x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4];

: F" p+ {7 z& r) f

y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

X=[ones(size(x1)) x1 x2];

: G* a7 h. \% A. Z

a=X\y

( `) A/ c" O' U. a# u

a = 0.1018 0.4844 −0.2847

因此数据的拟合模型为

y=0.1018+0.4844x1−0.2487x2

: }( Z: v& I/ `4 \

4、傅里叶分析与FFT

利用MATLAB提供的FFT函数可方便地计算出信号的傅里叶变换，从而在频域上对信号进行分析。

7 v! Q2 |; Y# a* P

例1 ：混合频率信号成分分析。有一信号x由三种不同频率的正弦信号混合而成，通过得到信号的DFT，确定出信号的频率及其强度关系，程序如下：

7 E( q& d. P" S& z/ b2 o

t=0:1/119:1;

5 @. n8 F: b- |# J* E( H- e

x=5*sin(2*pi*20*t)+3*sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*45*t);

y=fft(x);

m=abs(y);

f=(0:length(y) -1)*119/length(y);

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(多频率混合信号)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

) Z# c& K! N; G: h3 n$ N

subplot(2,1,2),plot(f,m)

1 d, ^% I7 i( z& k1 [, w

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

7 X. C9 I1 Y& ~8 Q9 S1 m

例2 ：信号在传输过程中，由于受信道或环境影响，在接收端得到的是噪声环境下的信号。我们利用FFT函数对这一信号进行傅里叶分析，从而确定信号的频率，程序如下：

t=0:1/199:1;

x=sin(2*pi*50*t)+1.2*randn(size(t)); ％噪声中的信号

" q4 R) g- N, t( I

y=fft(x);

m=abs(y);

f=(0:length(y) -1)*199/length(y);

figure(1)

7 b- z9 U% X' O3 ~$ V( l

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(信号检测)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

/ B' ?# p1 `/ a* M+ r

subplot(2,1,2),plot(f,m)

* R2 q; I$ X% `" |& J$ G9 k, Z

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

- x0 Z' `9 A+ V5 f

例3 ：天文学家记录了300年来太阳黑子的活动情况，我们对这组数据进行傅里叶分析，从而得出太阳黑子的活动周期。MATLAB程序如下：

load sunspot.dat

! m% s, `8 q% ^. C3 z

year=sunspot(:,1);

/ Y, B' R# b. J+ d5 O; H

wolfer=sunspot(:,2);

/ N: I/ v. S4 J6 A. @* n; ^

figure(1)

) K6 Q _- e& r. i, D

subplot(2,1,1)

plot(year,wolfer)

title(原始数据)

Y=fft(wolfer);

6 c! |8 {$ T8 @9 G0 Z7 |6 ^; I

N=length(Y);

! h+ o0 N* L5 A" l# J. F( t1 @* y" _

Y(1)=[];

power=abs(Y(1:N/2)).^2;

0 S$ g& w7 ]) L* {/ a/ F) Q7 [5 H% ?

nyquist=1/2;

freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;

$ F' X+ Q t+ u3 Q

period=1./freq;

9 d! F0 H: f8 c: V: A

subplot(2,1,2)

plot(period,power)

title(功率谱), grid on

axis([0 40 0 2e7])

各位读者朋友，感谢您的阅读，您若对工程应用中的数学问题感兴趣，欢迎关注我，愿我们一起讨论和成长！！！

( f$ ?3 z s( ~