MATLAB应用——数据分析与统计

; \ U& k9 v; `0 z. ^" l

: o- \2 I$ z$ a4 b% P

数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，它已经渗透到各个领域，而且发挥出越来越重要的作用。面对自然科学和工程应用中的难题，大部分人无从入手，而个别人却能短时间内给出切实可行的解决方案，其差别往往在于驾驭数学知识的能力不同。现代计算机技术的应用不仅减少了计算错误，而且加强了数学应用者解决问题的能力。MATLAB是一款常用的数据处理软件，为了更好的应用MATLAB软件，我将整理好的MATLAB函数分享到今日头条上，以利己利人查阅。

MATLAB提供的很多数据分析与统计函数都是面向列的，即矩阵中的每一列代表一个变量的多个观测值，其列数对应于变量数，行数对应于测量点数。

9 H. C$ a" M& H. K

max和min函数可求出数据的最大值和最小值，mean和std函数可求出数据的均值和标准差，sum和prod函数可求出数据元素和与数据元素积。例如，对MATLAB内含的某城市24小时的车流量数据count.dat可作分析：

' `4 h9 }6 `& g: m, n8 ~

load count.dat

mx=max(count)

mx = 114 145 257

6 H5 a8 Y9 t G+ s9 L3 R! }

mu=mean(count)

8 |1 Y6 y _$ p/ ~7 |

mu = 32.0000 46.5417 65.5833

+ [7 Y5 t6 |3 h7 {, U w/ S0 r

sigma=std(count)

' l) N6 J; Q% B2 b

sigma = 25.3703 41.4057 68.0281

对有些函数还可给出位置，例如，在求出最小值的同时，可得到最小值所在的位置(行号)：

[mx,indx]=min(count)

0 ~0 l; i; T; J& N7 E

mx = 7 9 7

indx = 2 23 24

1、协方差和相关系数

+ F9 Y& Q5 m2 P. A

cov函数可以求出单个变量的协方差，而corrcoef函数可求出两个变量之间的相关系数，例如：

+ E/ p' s7 D- m

cv=cov(count)

cv = 1.0e+003 *

: {& C1 ~& C. d' e

0.6437 0.9802 1.6567

0.9802 1.7144 2.6908

1.6567 2.6908 4.6278

cr=corrcoef(count)

- S. y' x% i- ]7 u1 ]

cr =

) d; b2 w- J/ ^3 j6 }# ?1 @' z+ Q& V

1.0000 0.9331 0.9599

2 Y) E4 d( h' b' S2 O/ W

0.9331 1.0000 0.9553

0.9599 0.9553 1.0000

2、数据预处理

在MATLAB中遇到超出范围的数据时均用NaN (非数值) 表示，而且在任何运算中，只要包含NaN，就将它传递到结果中，因此在对数据进行分析前，应对数据中出现的NaN作剔除处理。例如：

) h5 r3 Q4 Q! w4 B3 y* V1 z

a=[1 2 3;5 NaN 8;7 4 2];

sum(a)

ans = 13 NaN 13

在矢量x中删除NaN元素，可有下列四种方法：

(1)  i=find(~isnan(x))；x=x(i)。

2 z8 Y, [% t# r# Z7 N! U

(2)  x=x(find(~isnan(x)))。

(3)  x=x(~isnan(x))。

& |' z2 s0 G5 l) T) Z' i

(4)  x(isnan(x))=[ ]。

在矩阵X中删除NaN所在的行，可输入

X(any(isnan(X))，：)=[ ]；

: k: C4 z6 h9 i S7 Z

经过这种预处理后的数据，可进行各种分析和统计操作。

3、回归和曲线拟合

+ I) P% }0 i6 B9 j7 X2 E. I5 n

对给定的数据进行拟合，可采用多项式回归，也可采用其它信号形式的回归，其基本原理是最小二乘法，这一功能实现在MATLAB中显得轻而易举。

例1：设通过测量得到一组时间t与变量y的数据：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

. e' n* P& |# G, R- d

y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40];

; e" u, ?! }" q' P# V) O* g; Z8 I

进行回归，可得到两种不同的结果。MATLAB程序如下：

" H' u, l, L: |! u

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

$ M" l) g3 q+ g

y=[.5 .82 1.14 1.25 1.35 1.40];

X1=[ones(size(t)) t t.^2];

a=X1\y;

% c9 h0 [1 m/ x1 f" B5 [

X2=[ones(size(t)) exp(–t) t.*exp(–t)];

b=X2\y;

$ h6 G \+ L3 o, ~

T=[0:.1:2.5];

Y1=[ones(size(T)) T T.^2]*a;

Y2=[ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*b;

2 E8 e/ [0 @$ R3 b

figure(1)

$ j8 p" J0 M! [& \

subplot(1,2,1)

$ N5 _1 F3 u( p4 X

plot(T,Y1,-,t,y,o),grid on

' x: Z" n+ j9 t" O! P6 y

title(多项式回归)

subplot(1,2,2)

* l2 y' Q+ @' H1 S

plot(T,Y2,-,t,y,o),grid on

title(指数函数回归)

! s% O, ^: q9 u

例2 已知变量y与x1，x2有关，测得一组数据为

　　x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 ];

" R" y. [$ Y% Q

　　x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 ];

　　y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

" c& n. I- Z/ Q; n

采用来拟合，则有

x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1];

x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4];

y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

X=[ones(size(x1)) x1 x2];

a=X\y

a = 0.1018 0.4844 −0.2847

- N6 D$ W& b- ~6 P$ |# [. G5 e

因此数据的拟合模型为

y=0.1018+0.4844x1−0.2487x2

4、傅里叶分析与FFT

利用MATLAB提供的FFT函数可方便地计算出信号的傅里叶变换，从而在频域上对信号进行分析。

% T5 Z5 {- c8 k" P! X3 j- `' F

例1 ：混合频率信号成分分析。有一信号x由三种不同频率的正弦信号混合而成，通过得到信号的DFT，确定出信号的频率及其强度关系，程序如下：

$ X6 G+ Y$ ?. o! a4 `

t=0:1/119:1;

x=5*sin(2*pi*20*t)+3*sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*45*t);

y=fft(x);

m=abs(y);

f=(0:length(y) -1)*119/length(y);

- c/ C c2 r8 K

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(多频率混合信号)

; w( U& ]3 m; h4 u

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

subplot(2,1,2),plot(f,m)

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

% I7 c/ v3 R) I& E, x

例2 ：信号在传输过程中，由于受信道或环境影响，在接收端得到的是噪声环境下的信号。我们利用FFT函数对这一信号进行傅里叶分析，从而确定信号的频率，程序如下：

t=0:1/199:1;

& \* C! N2 Z- E# X; J

x=sin(2*pi*50*t)+1.2*randn(size(t)); ％噪声中的信号

y=fft(x);

- @; A3 B, K6 S0 \. h) o

m=abs(y);

1 @% X7 W( ?7 e F; P1 X* t

f=(0:length(y) -1)*199/length(y);

8 ]5 L0 ~& j3 k7 z

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(信号检测)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

subplot(2,1,2),plot(f,m)

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

; G$ ?1 }" a% V5 D& \" ^' N7 d' r

xlabel(Frequency (Hertz))

, \. w |* c0 D7 P" y

例3 ：天文学家记录了300年来太阳黑子的活动情况，我们对这组数据进行傅里叶分析，从而得出太阳黑子的活动周期。MATLAB程序如下：

4 w2 l" [) n. D# X

load sunspot.dat

year=sunspot(:,1);

wolfer=sunspot(:,2);

4 |- h T9 P, K6 p- c- e+ J

figure(1)

subplot(2,1,1)

plot(year,wolfer)

+ Y. ]3 m% O+ F

title(原始数据)

Y=fft(wolfer);

x" N C, ^3 K {6 A; k( W

N=length(Y);

Y(1)=[];

power=abs(Y(1:N/2)).^2;

nyquist=1/2;

; n4 ]- o) P* D: z

freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;

period=1./freq;

subplot(2,1,2)

) S6 v. q, { D s8 c" F

plot(period,power)

7 R. \3 g+ F' M8 K% Q# C

title(功率谱), grid on

4 \9 t* \4 `2 `9 R: z' O: r

axis([0 40 0 2e7])

. ~+ h* |6 H- _* i' N

各位读者朋友，感谢您的阅读，您若对工程应用中的数学问题感兴趣，欢迎关注我，愿我们一起讨论和成长！！！

9 \6 j# A& D0 E- B : W1 I. j3 u, ^& M# M 5 Y0 M- p: [# h7 F