湍流的拟序结构是什么？拟序结构是Navier-Stokes方程奇点的时空结构

三观道人 · 发表于物理类 2022-12-30 21:06:13

注：此文是作者在知乎网上回答读者的提问 “湍流的拟序结构是什么？” 而写的。目的是对湍流知识进行科普,以促进湍流问题研究在国内外华人学术界的研究进展。

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图1 大气云层中的大尺度湍流拟序结构（网络图片）

（一）拟序结构的定义及表征

拟序结构一般指的是湍流中产生的大尺度的有组织的流动结构。过去的50多年，人们只是发现了湍流中存在这样的结构，但是拟序结构是怎么产生的，在国际上是没有一个大家公认的确切的说法的。而且对于湍流拟序结构的定义及其存在的形式，到现在也是存在争议的，例如，美国亚利桑那州立大学的Adrian教授等人认为边界层流动中，湍流中的拟序结构主要是发卡涡结构，而德克萨斯工业大学的Hussain教授认为在边界层湍流中，明显的发卡涡结构并不存在，而是壁面附近的低速条带结构 [1]。作者认为，只有而且只能通过正确理解湍流的产生机理，才能理解拟序结构是怎么形成的。
湍流的拟序结构最初是在实验中发现的（Brown and Roshko 1974）。现在，既然若干课题组的研究用Navier-Stokes方程的直接数值模拟（DNS），获得了湍流的大尺度拟序结构，那么，拟序结构的物理机理就只能用Navier-Stokes方程来解释，这一点相信大家是不会有异议的。作者认为，湍流的拟序结构的刻画也要通过NS方程来进行，在这个问题上，作者与许多湍流专家的看法是存在很大异议的。
曾有研究生问我，我们研究的对象是湍流，为什么要研究旋涡？到底湍流和旋涡有什么关系，还真的没有人澄清过这个事情。根据观察，湍流中是比层流中存在更多的旋涡，这也是涡量的输运方程明确显示出来的特性，做大气科学研究的对这一点体会应该更深刻。但是，事实上，湍流与旋涡的时空的直接对应关系，是湍流研究领域一直没有得到深入探索的一个非常困难的课题。作者认为，湍流的拟序结构的定义与表达，在位置和强度及其演化规律上，应该反应这种对应关系，而旋涡的显示和表达实际上没有满足这些要求。
（二）拟序结构的发现和研究历史及产生原因
从1935年到1960年代之前的30多年，是湍流的www.52ocean.cn得出来的，是一个确定性的方程，它支配的流动应该是确定性的流动，但是由于湍流产生的机理不清楚，大多数科学家都认为，当流动超过其www.52ocean.cn的Kline et al在边界层实验中发现了湍流生成的“猝发”现象，1974年加州理工学院的Brown and Roshko在混合层中发现了有规则的大尺度结构之后，人们就认识到湍流实际上是有组织的大尺度结构与小尺度的随机旋涡结构共存的流动状态，而在这种流动中，大尺度的结构占有支配状态，这是目前对拟序结构的看法。从那个时候之后，大家公认的，50年来，湍流理论和湍流物理机理的研究的进展甚微，除了发展了用于CFD的算法外（RANS, LES, DNS）。
1970年之后，人们在平面Poiseuille流动，圆管流动，平面Couette流动，边界层流动中，都发现了类似的大尺度结构，这些发现，为人们了解湍流的生成机理提供了背景和基础。1990年代，Arizona State University 的Adrian课题组认为大尺度结构（LSM）就是由一组发卡涡组成的结构（一般3-5个发卡涡），后来Adrian课题组和墨尔本大学Marusic课题组，分别发现了湍流中的超大尺度结构或者非常大尺度结构（VLSM），接着其他课题组也发现了类似的结构。进一步地，实验研究及数值模拟发现，在平面Couette流动和Taylor-Couette流动中的流道核心区也存在类似的大尺度湍流结构。
到目前为止，对这些LSM和VLSM，国内外仍然没有满意和合理的解释。如果要解释这些结构的生成机理，就必须先了解湍流的生成机理，只有根据湍流的产生机理来解释湍流的拟序结构，得到的结论才是靠谱的。140年来（1883年算起），虽然许多学者提出了若干理论，用来解释湍流产生的机理，但是都不能满意地解释湍流中的许多现象，与实验数据也不一致。
2004年，窦华书提出了能量梯度理论 [1-5]，2021和2022年又连续发表了2篇论文，经过精确的推导，揭示了湍流的产生是由于流场中产生了Navier-Stokes方程的奇点，产生了速度的间断，导致了湍流“猝发”，引起了速度分量和压力的脉动（涨落），这样就产生了湍流。这是目前，根据NS方程做的，对湍流的产生，唯一可靠的物理解释。因此，有了湍流产生的机理，那么，湍流拟序结构的形成原因就可以合理地解释了。窦华书的能量梯度理论是一个独一无二的理论，颠覆性的理论。不同于过去100多年的所有的其他理论，是唯一的一个通过NS方程得到的湍流生成的理论，并与实验和数值模拟的结果相一致。
根据能量梯度理论，湍流是由Navier-Stokes方程的奇点产生的，湍流的拟序结构就是奇点在流场中的空间分布（或时间轨迹）所导致的流动结构。奇点生成是来流速度和扰动所决定的，沿着流向，一系列的奇点的生成是同时由来流速度和扰动波的最终合成的作用决定的 [1]。因此，沿流向的一系列奇点是频率和相位相关的。这样一个与波动相关的流动结构（dispersive wave），“拟序结构”必定看起来是像是有组织的流动结构。按这个理论，拟序结构在低雷诺数时比较明显，而在高雷诺数时，大尺度结构的波动幅值减弱，这正是在实验中看到的。按照这个理论的预测，对channel flow和圆管流动, 沿壁面垂直方向，最初发生的奇点只有2个。对边界层流动，沿壁面垂直方向，最初发生的奇点也有2个，其中一大一小，大的接近壁面，小的在边界层的外缘。对混合层流动，垂直于流动方向的截面上，奇点只有一个。窦华书的这些理论分析与实验是一致的，拟序结构与垂直壁面的奇点个数、位置是一致的。目前，还没有看到任何其他理论能够对这些流动现象做出合理的解释。
对平面Couette流动，和Taylor-Couette流动，实验和DNS发现，沿垂直壁面的方向，大尺度结构有三条（两平行平壁之间或两旋转圆柱之间，沿main stream方向）。即除了靠近两壁面的边界层里面，有大尺度结构之外，在流道中间的核心区，还存在一条大尺度的湍流结构（尽管其湍流的幅值不是很大），这一条大尺度湍流结构在channel flow 和圆管流动中是没有的。对于这个复杂的流动现象，更没有任何理论来解释这个物理机理。KTH的Johasson课题组1996年就发现了平面Couette流动的这样的结构，日本名古屋大学2008年的实验研究也验证了流道核心区的大尺度结构(图2)。对平面Couette流动，和Taylor-Couette流动的核心区的大尺度结构，又是只有能量梯度理论，对这种现象做出了合理解释，即流道中间的大尺度湍流结构是Navier-Stokes方程的奇点的轨迹形成的。并用能量梯度理论对这种湍流的转捩及大尺度结构的形成进行了精确的预测，理论与实验的一致是非常令人满意的。

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图2 平面Couette流动中间平面上（y=0）的流向速度脉动的大尺度湍流结构 Re=3750 （O. Kitoh and M. Umeki， 2008）.

图2中的是日本名古屋大学的实验结果。平面Couette流动中间平面上（y=0）的流向速度脉动的大尺度湍流结构（Re=3750），原因是在湍流中，中间面上是NS方程的奇点。在平面Poiseuille流动中不存在这样的湍流结构，原因是在湍流中，中间面上不是NS方程的奇点。
像大家都知道的湍流边界层中的旋涡结构是一系列的发卡涡（Adrian 等，许多作者），或者其他类似的旋涡结构，其流动中的旋涡形态随雷诺数不同而有变化。其实在发卡涡的两涡腿之间，就是一系列的奇点；发卡涡的涡头（展向涡的核心）也是奇点，而且是转捩过程中最先形成的奇点。按照能量梯度理论，一个发卡涡就是流场中一系列奇点诱导的由流线形成的空间结构。
大家知道，湍流在时间和空间上是有间歇性的，湍流实际上由流场中的若干个湍流产生核心组成，它们控制着流场内的湍流发展，各个湍流区的核心就是作者提出的“奇点”，这些奇点连接在一起，就构成了湍流场的主干骨架，围绕这个主干骨架形成的旋涡结构就是文献中大家所研究的湍流的拟序结构。为什么叫“拟序结构（coherent structure）”，就是沿着流向，其前后的大尺度结构是频率和相位相关的，并不是互不联系的，就是看上去是有序的、有组织的。
湍流中的&quot;大尺度结构&quot;，在1950-1960年代，在实验中就有人发现了，就有人这样称呼，并不是到了1970年代才有的。只是1974年，Brown and Roshko发现了混合层湍流中流动前后的大尺度结构是相关联的，看似是有一定规律有组织（准周期的）的结构，这才有了“拟序结构(coherent structure)”的说法。
（三）拟序结构和湍流cascade以及湍流能谱scaling这些概念之间的联系
湍流的拟序结构指的是湍流中的大尺度的有规律的动力学结构。湍流cascade指的是湍流中能量的传递过程，按照Richdarson和Kolmogorov的定义，按照湍流中旋涡的尺度大小（或波数），分为含能区、惯性区和耗散区共三个区域。在含能区，是湍流从平均流动获得能量的一个过程。在惯性区，湍流的能量是从大涡向小涡逐级传递，而几乎没有能量耗散的过程。在耗散区，湍流的旋涡所包含的能量在Kolmogorov尺度上逐渐被流体粘性耗散掉，变为热能。

湍流能谱scaling指的是在所有上述的三个区内，存在不同的能谱随波数的变化关系。在含能区和耗散区的能谱关系，研究仍然不够成熟，对不同的流动类型，这种scaling存在很大差别。但在惯性区的能谱关系，研究很多，结论且相对统一，就是在对数坐标下，存在一个能谱随波数的指数线性关系。

他们在分析湍流能量随波数的变化关系时，是根据运动学原理，采用统计方法进行的。这些分析方法得到的规律，没有考虑湍流的拟序结构，所以拟序结构和湍流cascade以及湍流能谱scaling之间不存在直接关系。特别是湍流中存在间歇性的问题，统计方法中没有考虑到，Landau教授等人给出了Comments。
Kolmogorov (1941)和Obukhov(1941)在三个假设下，利用因次分析，对各向同性的均匀湍流，得到了一个能谱随波数的-5/3次方的标度律（简称K41理论）。这个标度律对高雷诺数下的大量实验和计算数据，获得了良好的一致性。但是，也存在大量数据，不符合这个标度律，Kolmogorov和Obukhov的标度律受到了若干位专家的质疑（如Landau, Kraichnan，Sreenivasan等人）。目前，在整个湍流领域，K41理论是唯一的一个被湍流学术界公认的湍流理论（主要原因可能是因为还没有其他理论可用），还没有其他理论被得到公认。实际上K41理论，按物理学的基本原理，还不能称作理论，因为其标度律是一个半经验公式，并不是根据第一性原理推导出来的，所基于的三个假设也不一定可靠。
需要指出，Kolmogorov和Obukhov的标度律，是根据湍流的统计理论得到的产物，与湍流产生的方程NS方程是矛盾的。窦华书得到的湍流能谱随波数的-2次方的标度律，也得到了大量实验和计算数据的支持，而且这个标度律是与NS方程相容的，是根据动量守恒和能量守恒定律（是根据第一性原理），推导出来的 [1]。
（四）拟序结构的表征方法
需要指出，作者认为，单纯的流场中的旋涡表征不代表流动结构，旋涡只是流体运动学的表征，换句话说，流场中可见的旋涡是湍流动力学的结果，不是湍流的动力学成因。例如，NS方程的DNS结果发现的流向涡（或者发卡涡的涡腿）是可见的旋涡，可是湍流的产生核心是两条涡腿的之间的地方，旋涡结构（发卡涡）是表现不出来的。根据湍流权威专家西班牙科学院院士Jimenez (2018)的描述，“旋涡是最可能的流动状态的统计学表示，而结构需要动力学”。就是说流场中的旋涡，必须要和产生这些旋涡的动力学结合起来，才能描述湍流的拟序结构。流场中的某种特性，如果通过动力学手段进行表征（包括幅值、周期或频率、相位），就可以代表湍流的流动结构，如NS方程的奇点（速度间断）的特性[1]。根据湍流的产生原理，窦华书提出的能量梯度函数K可以用来表达湍流的拟序结构。对各种不同的流动类型，这方面还有更进一步的具体工作需要做。
根据边界层流动和槽道流动的实验结果，在完全发展的湍流中，湍流的产生主要是通过准周期性的“猝发”过程（ejection and sweep cycle）实现，产生的雷诺应力占总的湍流剪切应力的80%左右，而拟序结构产生与这个过程相关。这个“猝发”现象的产生机理是通过NS方程的奇点导致的非线性失稳过程完成的 [1]。因此，湍流的拟序结构就是NS方程的奇点释放过程在湍流中的时间序列表现。
注意：本文说的奇点指的是窦华书所定义的“奇点”，即流向速度发生了间断，理论上的速度u=0。此处的能量梯度函数K为无穷大，总机械能的梯度方向垂直于速度矢量 [1-5]。并不是指的当地流动速度趋于无穷大，发生了爆炸（blow up)。到现在为止，我们的理论研究和数值模拟及实验研究中，还没有发现流动中发生爆炸（blow up)现象。国内外发表的文献中，也没有发现爆炸（blow up)的报道。
奇点是“准周期性”地出现的，是非定常流动或者说波动导致的结果。例如，湍流的“猝发”是准周期性的，湍流产生并不是像射流一样一直连续地向上冒的。因为湍流的“猝发”是准周期性的，所以湍流才是间歇性的。
层流是流体的流动，层流流场是一个速度场。湍流流场是速度场和波动场的叠加和干扰的产物。只有理解了波，才能够理解湍流 [1]。一个能量小的波，叠加到速度场里面，层流场可能还是层流场。当一个能量大的波叠加到速度场里面，层流场就有可能变为湍流场，主要是看这个波与速度的相互作用结果是否能够改变流场的机械能分布，导致奇点的发生。
自然界万物都是波动的，湍流更是典型的dispersive wave dominated 流动。我们基础物理学里面振动和波那部分内容讲的，一个简单的丛波或者横波，是从一个振源发出并传递的波。那么湍流是波主导的oscillating流动，必然存在一个振源。找到这个振源，就找到了湍流产生的原因。这个振源就是速度与波相互干扰导致的奇点（速度间断及其猝发）。这样讲对湍流产生的原因，是不是更容易理解了呢？在低雷诺数的流动中，湍流中由一个振源引起的介质振动（波）会在粘性作用下很快衰减；然后在低能量的扰动波的作用下，下一个振源又会形成，两个振源之间就是间歇区。随着雷诺数的增大，湍流中的这些振源就紧密地连在一起，但间歇仍然是存在的 [1-5]。
根据湍流的实验结果，湍流的产生是阵发式的，通过准周期性地“猝发”引起涨落，并在时间和空间上展现为是间歇性的。所以，拟序结构的表达必须反映这种时空上阵发式的流场特性。目前，窦华书的能量梯度理论预测的沿着流向的“奇点”产生，正好显示了这种特性。
提到湍流的拟序结构，首先，需要说一下转捩流动和完全发展的湍流的区别。根据窦华书发现的湍流产生的机理，湍流产生的机理，在转捩流动中和完全发展的湍流中是相同的。关于这一点，窦华书的看法与流体力学界许多作者是不一样的，许多专家认为这两类流动中湍流产生的物理机理及流动结构是不同的。
完全发展的湍流就是湍流的产生，导致了流场的湍流流动结构（包括旋涡结构，但不只是旋涡），这个结构导致的动力学能够自动地再次产生湍流，形成一个自持的循环过程。而在转捩流动中，就是湍流的产生，导致的流场的流动结构，不能持续地自动地产生湍流，还在发展过程中，还不能成为一个自持的循环过程。如果雷诺数足够高，扰动能量足够大，转捩流动就会发展成为完全发展的湍流；如果雷诺数和扰动能量中，有一个不够高，转捩流动就可能衰减成为层流。
（五）总结及结论
湍流中的所有的大尺度湍流结构，都可以用能量梯度理论来解释（即湍流拟序结构是Navier-Stokes方程的奇点的轨迹），其理论预测与实验结果一致。平面Couette流动和Taylor-Couette流动中间平面上的大尺度的湍流结构，也可以用能量梯度理论来解释，并且也只有能量梯度理论能够解释的了，解释的清楚。为什么呢？这是因为，这里是根据湍流产生的物理原因来解释的，并不是只根据流动现象的观察得出的。因此，这样的解释是可靠的。
因为转捩流动和湍流中NS方程的奇点的形成，在时间和空间上都是准周期性的，只是随着雷诺数的增大，周期缩短（能谱图中看到的波长变短）。我们也可以说，拟序结构是湍流中NS方程奇点的时空结构。因此，知乎一网友提到的美国Texas Tech University的Hussain的对湍流拟序结构的定义（在空间上相位关联的涡旋），基本上也是可以部分接受的，但是Hussain的定义只是从流场的表象上来看的，并没有理解拟序结构产生的内在原因，应该把他的定义与湍流产生联系到一起。
湍流是间歇性的，湍流由时空中无数个大大小小的湍流生成核心组成。拟序结构是随时间变化的，它由这些核心连在一起的骨架构成。湍流结构的表达就是把它刻画出来，进一步把其生成和演化和其他流动参数联系起来，这样进一步去理解湍流，控制湍流。
湍流的拟序结构的表征，根据湍流产生的原理，可以用作者提出的能量梯度函数来表征，它反映了湍流产生的流场中的动力学现象。能量梯度函数K有峰值的位置，就是湍流产生的核心。例如，湍流边界层的所显示的发卡涡的涡腿中间面的的high-shear layer位置及涡头中心附近的位置。
通过过去前人对湍流拟序结构的研究，从实验结果和直接数值模拟得到的流场结构显示看，拟序结构是尺度上与流道尺度相当的，直觉上应该是流场当地平均速度的时空变化的产物，而不是湍流涨落（脉动）本身的特性所支配的。这与能量梯度理论的分析结果是一致的。
参考文献
1. Dou, H.-S., Origin of Turbulence-Energy Gradient Theory, 2022, Springer.  www.52ocean.cn 10.1007/978-981-19-0087-7（全书下载地址）

2. Dou, H.-S., Energy Gradient Theory of Hydrodynamic Instability, The Third International Conference on Nonlinear Science, Singapore, 30 June-2 July, 2004. 链接如下： https://arxiv.org/abs/nlin/0501049
3. 科学网-海森堡的第二个问题终于有了答案 - 窦华书的博文。

www.52ocean.cn
4. 新书访谈，专访《湍流的起源—能量梯度理论》作者窦华书教授。  www.52ocean.cn
5. 窦华书教授成功破解了百年湍流难题，中国教育日报网。http://chinaedutech.com/dfjy/2022/1117/1327.html



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